Окончил ММСИ.

В 1994 году защитил кандидатскую диссертацию по теме «Комплексное лечении больных с флегмонами в челюстно-лицевой области».

В 1999 году защитил докторскую диссертацию по теме «Клинико-экспериментальное обоснование применения биокомпозиционных материалов при костно-восстановительных операциях на челюстях».

Высшая врачебная категория по хирургической стоматологии и челюстно-лицевой хирургии.

С 1986 г. А. Ю. Дробышев работает врачом поликлинического отделения, а затем взрослого стационара стоматологического комплекса, затем Центра стоматологи и челюстно-лицевой хирургии ММСИ, МГМСУ, затем МГМСУ им. А. И. Евдокимова. С 1988 г. — ассистент, доцент кафедры госпитальной хирургической стоматологии и ЧЛХ; 2000 г. — профессор кафедры; С 2008 г. по настоящее время — заведующий кафедрой челюстно-лицевой и пластической хирургии.

А. Ю. Дробышев является специалистом по челюстно-лицевой и пластической хирургии. Ежегодно выполняет более 300 операций в год по высоко-технологичной медицинской помощи. Наибольшим интересом в профессиональной деятельности является лечение пациентов с тяжёлой врождённой патологией ЧЛО, с травмами и посттравматическими дефектами и деформациями ЧЛО, лечение и реабилитация больных после онкологических заболеваний, костно-восстановительные операции, дентальная имплантация.

Является автором первой в России монографии «Основы ортогнатической хирургии», автором первого в России учебника «Челюстно-лицевая хирургия» и соавтором учебника «Хирургическая стоматология и челюстно-лицевая хирургия» для студентов стоматологических факультетов, Национального руководства «Челюстно-лицевая хирургия и хирургическая стоматология», практических руководств по челюстно-лицевой хирургии, методических разработок для студентов лечебного факультета и факультета постдипломного образования по различным разделам стоматологии челюстно-лицевой хирургии. Автором патентов на изобретения и новых методов лечения по различным разделам хирургической стоматологии и ЧЛХ. Имеет более 400 печатных работ и выступлений на международных и Российских конференциях. Под его научным руководством защищены 22 кандидатских и 3 докторских диссертации.

Награждён грамотами Президента РФ и Министра Здравоохранения РФ, медалью «За заслуги перед Отечественным Здравоохранением».

Принимал участие в ликвидации последствий землетрясения в Армении.